O que é uma inequação?

Inequações são sentenças matemáticas com ao menos uma incógnita que relacionam duas expressões através de um sinal de desigualdade (ie: >, <, ≥, ≤ e ≠), ao contrário das equações cuja relação entre as expressões é de equivalência.

Assim como nas equações, subentende-se que nas inequações existe um problema a ser resolvido: a incógnita deve assumir quais valores para tornar a desigualdade verdadeira?

Como resolver uma inequação?

As regras para resolver inequações são muito semelhantes as regras de equações convencionais:

• Você pode adicionar ou subtrair qualquer número positivo ou negativo aos dois lados de uma inequação.
• Você pode multiplicar ou dividir qualquer número positivo ou negativo aos dois lados de uma inequação.
• Atenção!
  Se você multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por um número negativo, inverta o sinal da inequação!

Exemplo
Resolva a inequação:

2x + 15 < 3

1. Passe o +15 para a direita invertendo a operação de adição para subtração:
   2x < 3 - 15
   2x < -12

2. Passe o 2 para o lado direito invertendo a operação de multiplicação para divisão:
   x < -12/2
   x < -6

3. Solução final:
   x < -6

Por que inverter o sinal da inequação?

Vamos ver o que acontece se não o fizermos. Pense na simples desigualdade –3 < 9. Esta é obviamente uma afirmação verdadeira.

-3 < 9

Para demonstrar o que acontece quando dividimos por um número negativo, vamos dividir ambos os lados por –3. Se deixarmos o mesmo símbolo de desigualdade, nossa resposta obviamente não estará correta, já que 1 não é menor que –3.

Devemos inverter o símbolo para encontrar a resposta correta, que é “1 é maior que –3”.

Como representar graficamente uma inequação?

Considere a solução x < -6 encontrada anteriormente. Podemos representá-la graficamente da seguinte forma:

A seta vermelha indica todos os valores na linha numérica que pertencem a essa solução. O círculo aberto em –6 nos mostra que –6 não está na solução. Se a solução fosse “x é menor ou igual a –6”, o círculo seria um círculo fechado (escuro ou preenchido).

Para verificar, podemos escolher alguns pontos da seta vermelha e substituir na desigualdade. Vamos usar –7.

2x + 15 < 3
2.(-7) + 15 < 3
-14 + 15 < 3
1 < 3

Correto! Nossa substituição deu um resultado verdadeiro, então a solução está correta.

Inequações Simultâneas

Várias inequações simultâneas podem ser escritas na seguinte forma:

0 ≤ a < b ≤ 1

Esta é uma abreviação para:

0 ≤ a
a < b
b ≤ 1

O que também implica que 0 < b e a < 1.

Em algumas situações excepcionais pode não haver tais implicações para termos distantes. Por exemplo: i ≠ 0 ≠ j é uma abreviação para i ≠ 0 e 0 ≠ j, mas que não implica que i ≠ j. Analogamente, a < b > c é abreviação para a < b e b > c, mas que não implica nenhuma ordem entre a e c.