Enem 2022: Matemática

A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.
Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre 1/2.

Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?

(A) 35/64
(B) 40/64
(C) 42/64
(D) 44/64
(E) 52/64

Resolução

Vamos chamar os dois times de A e B. Tanto faz qual dos dois times foi o campeão mas, sem perda de generalidade, vamos supor que tenha sido o time A. Nesse caso, conforme estabelecido pelo enunciado, sabemos então que o time A venceu a 1ª e a última partida. Sabemos também que existem 4 possíveis cenários em que ele pode ser o campeão da World Series:

• Com exatamente 4 partidas: AAAA
• Com exatamente 5 partidas: A???A
• Com exatamente 6 partidas: A????A
• Com exatamente 7 partidas: A?????A

No cenário de 5 partidas, existem 3 possíveis casos: ABAAA, AABAA, AAABA
Já para os demais casos, é mais conveniente usar a fórmula de permutação com repetição:

N = n!/n₁!.n₂!

Daí:

• A????A
  n = 4, n₁ = 2 e n₂ = 2
  N₆ = 4!/2!2! = 6

• A?????A
  n = 5, n₁ = 3 e n₂ = 2
  N₇ = 5!/3!2! = 10

Então, a probabilidade de cada um dos cenários é:

• P₄ = (½)³
• P₅ = 3.(½)⁴
• P₆ = 6.(½)⁵
• P₇ = 10.(½)⁶

A probabilidade de algum desses cenários ocorrer será a soma dessas probabilidades:

P = P₄ + P₅ + P₆ + P₇
P = (½)³ + 3.(½)⁴ + 6.(½)⁵ + 10.(½)⁶
P = (½)³ + 3.(½)⁴ + 3.(½)⁴ + 5.(½)⁵
P = (½)³ + 3.(½)³ + 5.(½)⁵
P = 4.(½)³ + 5.(½)⁵
P = 1/2 + 5/32
P = 21/32
P = 42/64

Gabarito: (C)