Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.
Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?
(A) 1 e 49
(B) 1 e 99
(C) 10 e 10
(D) 25 e 25
(E) 50 e 50
Teoria Fácil e Rápida: Vértice da Função Quadrática
A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c com a < 0
possui valor máximo no vértice:
(xv, yv) = (-b/2a, -Δ/4a)
Onde Δ é o discriminante da função:
Δ = b2 - 4ac
Resolução Fácil e Rápida
Sabemos que o perímetro da base é 100m, logo:
2x + 2y = 100 => x + y = 50
Podemos calcular a área da base pela fórmula A = xy.
Juntando essas duas equações temos a seguinte equação
quadrática:
A = x.(50-x) = -x2 + 50x
A fórmula geral da equação quadrática é:
f(x) = ax2 + bx + c
Portanto:
a = -1
b = 50
c = 0
Δ = 2500
Daí, o máximo corresponde ao vértice (xv,yv) = (25,25)
Gabarito: (D)