Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular (C).
O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm.
Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para √2 e √3 ,
respectivamente.
Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher?
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
Resolução
Para o círculo C não encaixar nas figuras, este deverá ter um diâmetro maior que dos círculos inscritos em cada uma das figuras. Analogamente, para as figuras não encaixarem no círculo C, este deverá ter um diâmetro menor que dos círculos circunscritos em cada uma das figuras.
As fórmulas dos diâmetros dos círculos inscritos (Di) e circunscritos (Dc) são:
| Figura | Di | Dc |
|---|---|---|
| quadrado | b | b√2 |
| retângulo | b | √(b² + B²) |
| triângulo equilátero | b√3/3 | 2Di |
Substituindo pelos valores do problema:
| Figura | Di | Dc | Intervalo |
|---|---|---|---|
| quadrado | 4 | 5,6 | 4 < D < 5,6 |
| retângulo | 3 | 5 | 3 < D < 5 |
| triângulo equilátero | 3,9 | 7,7 | 3,9 < D < 7,7 |
Dessa forma, o diâmetro do círculo C deve estar no seguinte
intervalo:
3,9 < D < 5
Finalmente, o único diâmetro possível dentre os disponíveis é 4,7
cm.
Gabarito: (B)