A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
(A) 16/3
(B) 31/5
(C) 25/4
(D) 25/3
(E) 75/2
Resolução
A parábola da figura pode ser descrita pela equação:
y=a.(x+5).(x-5)
y=a.(x²-25)
Substituindo o ponto (4,3) na equação temos:
3=a.(16-25)
a=-1/3
Substituindo o ponto (0, H) na equação temos:
H = (-1/3).(0²-25)
H = 25/3
Gabarito: (D)
Resolução Detalhada
O primeiro passo é representar matematicamente a parábola mencionada no enunciado.
Podemos fazê-lo da seguinte forma:- definir a origem do sistema de coordenadas no centro da base da abóbada
- as raízes da parábola correspondem aos pontos (+5; 0) e (-5; 0)
- a altura máxima H está sobre o eixo de simetria da parábola (ie: eixo y) e corresponde ao ponto (0; H)
- o ponto (+4; +3) pertence à parábola
Daí, podemos representar todos esses itens na seguinte figura:
O próximo passo é encontrar a equação dessa parábola.
Tendo em vista que temos as raízes x1 e x2, o mais conveniente é usar a equação na forma fatorada:
y = a.(x - x1).(x - x2)Substituindo x1 e x2 por seus respectivos valores numéricos:
y = a.(x + 5).(x - 5)
y = a.(x² - 25)Na equação acima ainda falta determinar o valor numérico do coeficiente a.
Para tal, devemos substituir o par ordenado (x; y) pelo ponto (+4; +3):
y = a.(x² - 25)
3 = a.(16 - 25)
a = -1/3Portanto, a equação da abóbada parabólica é:
y = 25/3 - x²/3Para determinar o valor da altura máxima H basta substituir o par ordenado (x; y) da equação acima pelo ponto (0; H):
H = 25/3 - 0²/3
H = 25/3
Gabarito: (D)