Enem 2017: Matemática

Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P(t) = A + Bcos(kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.

Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:

A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi

(A) P(t) = 99 + 21cos(3πt)
(B) P(t) = 78 + 42cos(3πt)
(C) P(t) = 99 + 21cos(2πt)
(D) P(t) = 99 + 21cos(t)
(E) P(t) = 78 + 42cos(t)

Resolução

Numa função trigonométrica, vale a seguinte fórmula entre a constante k e a frequência f:
k = 2π.f

Como o enunciado fornece que são 90 bpm, então f = 3/2 bps. Substituindo na fórmula acima:
k = 3π

Dessa forma, as únicas opções possíveis são as letras (A) e (B).

Substituindo o cosseno da opção (B) por -1 verifica-se que:
P_min = 78 - 42
P_min = 37

O que não corresponde a pressão mínima de 78 fornecida pelo enunciado. Assim, por eliminação, a opção correta só pode ser (A).

Gabarito: (A)

Resolução Detalhada

1. bpm para bps
   O enunciado fornece que são 90 bpm (batimentos por minuto). Podemos usar a seguinte regra de três para converter para bps (batimentos por segundo):

   60 ===> 90
   1  ===> ?

   Fazendo a multiplicação cruzada temos:
   60f = 90

   Isolando a incógnita:
   f = 3/2

2. Constante k
   Numa função trigonométrica do tipo A + B.cos(k.t), vale a seguinte fórmula entre a constante k e a frequência f:
   k = 2π.f

   Substituindo por f = 3/2:
   k = 3π

3. Pressão Mínima e Máxima
   O valor mínimo da função cosseno corresponde a -1. Dessa forma, o valor mínimo de P(t) é:
   P_min = A - B

   O valor máximo da função cosseno corresponde a +1. Dessa forma, o valor máximo de P(t) é:
   P_max = A + B

4. Constantes A e B
   De acordo com o enunciado, a pressão mínima e máxima correspondem a 78 e 120 respectivamente.
   Daí, podemos montar o seguinte sistema de equações:

   A - B = 78
   A + B = 120

   Resolvendo o sistema acima obtemos:

   A = 99
   B = 21

5. Finalmente
   Substituindo os valores numéricos de A, B e k obtemos:
   P(t) = 99 + 21.cos(3π.t)
   
   

Gabarito: (A)